Roczniki Kolegium Analiz Ekonomicznych

Zeszyt 21/2010

Kolegium Analiz Ekonomicznych oświadcza, że wersją pierwotną czasopisma jest wersja papierowa.

Rafał Łochowski

O pewnym modelu pojawiania się szkód

Streszczenie
W pracy przedstawiamy nowy model pojawiania się szkód w firmie ubezpieczeniowej. Nowy model jest wyprowadzony z założenia, że w portfelu firmy jest n niezależnych ryzyk i każde z nich może wyprodukować tylko jedno roszczenie. Ponadto zakładamy, że prawdopodobieństwo pojawienia się roszczenia w przedziale czasowym [t; t + _] jest takie samo dla każdego z ryzyk (pod warunkiem, ze roszczenia z tych ryzyk jeszcze się nie pojawiły) i zależy tylko od _. Wyprowadzony model różni się od (niejednorodnego) procesu Poissona i nie jest szczególnym przypadkiem modelu Sparre-Andersena. Zaprezentujemy wybrane własności nowego modelu: skończenie wymiarowe rozkłady procesu (Lt), gdzie Lt jest liczba roszczeń zgłoszonych do momentu t, ewolucje średniej, ewolucje wariancji jak również funkcje kowariancji i korelacji procesu (Lt). W pracy zaprezentujemy również bardziej ogólny model – czysty proces urodzin, którego szczególnym przypadkiem jest otrzymany model. Zaprezentujemy techniki Monte Carlo, które mogą być odpowiednim narzędziem do badania ogólniejszego modelu. Podamy również jawne (lecz skomplikowane) formuły na rozkład zmiennej Lt w bardziej ogólnym modelu, które można otrzymać za pomocą technik odwrotnej transformaty Fouriera a następnie metody residuów na płaszczyźnie zespolonej. Na koniec wyprowadzimy warunki zapewniające istnienie momentów zmiennej Lt w uogólnionym modelu, otrzymane za pomocą techniki transformaty Laplace’a.

***

On certain model of claim arrival

Abstract
We shall present a novel model for claim arrival in an insurance company. The model is derived from an assumption that there are n independent risks in company’s portfolio and that each risk can produce only one claim. Further, we assume also that the probability of claim’s occurrence during time interval [t; t + _] is the same for all risks (given that claims produced by these risks have not yet occurred) and depends only on _. The derived model differs from (non-homogeneous) Poisson model and can not be encompassed in the Sparre-Andersen model. We will present some features of the model: finite dimensional distributions of the process (Lt), where Lt is the number of claims occurred till the time t, evolution of mean, evolution of variance as well as its covariance and correlation function. We will also discuss a more general model – a pure birth process, which contains the obtained model as a special case. We will present Monte Carlo techniques which are suitable to deal with the more general model. We give explicit (but complicated) formulae for distribution of Lt in the more general model, which may be obtained with the use of inverse Fourier transform techniques and then with the method of residues on complex plane. At the end we will give conditions implying the existence of moments of Lt in the more general model, obtained with the use of Laplace transform techniques.

spis treści zeszytu 21

sie wyburaczylo